曾经看过国内各种关于讲解最小二乘法的教科书，但都是一大堆枯燥的推导公式，看起来很高深的样子，其实根本不知道它在说些什么！传授知识本来就应该告诉你这个东西到底是什么，它到底是干嘛的，就应该把复杂的问题简单化，可国内大多数教科书都是反其道而行，全是看起来很牛逼的样子，学生看了却什么也不懂。今天我就用最通俗易懂的方式，从线性代数和线性空间的角度告诉你什么是最小二乘法。
最小二乘法是一种最优化技术，它的做法是找到一组估计值，使得估计值与实际值的平方和的值最小，通过使误差的平方和最小，我们可以得到一下线性方程组，对这个线性方程组进行求解就可以得到拟合曲线。我们可以通过一个例子来进行讲解。
假设有一组数据点$t_1$，$t_2$和$t_3$，它们的坐标分别是(1，1)，(2，2)，(3，2)，而我想找到最优的那条线，假设这条直线为：
$$y = C + Dt\tag{1}$$
它不会通过所有的点，因为不存在这样的直线，所以我要选一条最优的使总误差最小的直线。我们需要知道总误差怎么度量，因为它决定了哪条线胜出，我们必须先定出误差是什么，才能通过最小化这个量而找到C和D。在此我就不作图了，因为图像很简单，你们可以自己想象一下，或者自己拿笔画画。
将这三个点带入方程，得到：
$$ \begin{cases} C + D = 1 \\ C + 2D =2 \\ C + 3D =2 \end{cases}\tag{2} $$
通过计算我们知道，它们联立是无解的，但可以有最优解。
这个方程组可写成矩阵的形式
$$AX = B\tag{3}$$
其中，\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}\)，\(X = \begin{bmatrix} C & D \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 1 \\2 \\3 \end{bmatrix}\)。
A的列向量线性无关，所以它们构成了列空间的一组基，但列空间不包括向量B，所以方程无解。那么最优解是什么呢？
我们将AX与B之间的差值相加，得到：
$$AX - B = E\tag{4}$$
其中，$E = \begin{bmatrix} e_1 \\e_2 \\e_3 \end{bmatrix}$，$e_1 = C + D - 1$，$e_2 = C + 2D - 2$，$e_3 = C + 3D - 2$，E称为误差向量。
我们要求的是$\left|AX - B\right|^2$ = $\left|E\right|^2$的最小值。
$$\left|E\right|^2 = \left|e_1\right|^2 + \left|e_2\right|^2 + \left|e_3\right|^2\tag{5}$$
分别过点$t_1$,$t_2$和$t_3$作与x轴垂直的直线，与直线y=C+Dt的交点分别为$s_1$,$s_2$,$s_3$。于是
$$ \begin{cases} \left|e_1\right| = \left|t_1-s_1\right| \\ \left|e_2\right| = \left|t_2-s_2\right| \\ \left|e_3\right| = \left|t_3-s_3\right| \end{cases}\tag{6} $$
假设$s_1$,$s_2$,$s_3$的纵坐标分别为$p_1$,$p_2$,$p_3$，令$p = \begin{bmatrix}p_1 \\p_2\\p_3\end{bmatrix}$。
我们知道方程组$AX = B$是无解的，但方程组$AX = p$有解，我们来求解方程组$AX = p$。为了提醒自己这里表示的是最优的估计，而不是完美的结果，我们在X上面加个小帽子，使方程组变为
$$A\hat{X} = p\tag{7}$$
其中p是B在p向量这个方向上的投影，设投影矩阵为P，则
$$p = PB\tag{8}$$
如果不懂什么是投影矩阵，可以参考我的另一篇文章子空间投影，在此不作赘述。
通过投影矩阵的知识我们知道投影矩阵P的表达式为
$$P = A(A^TA)^{-1}A^T\tag{9}$$
代入(8)，得：
$$p = A(A^TA)^{-1}A^TB\tag{10}$$
将(10)代入(7)，得：
$$A\hat{X} = A(A^TA)^{-1}A^TB$$
最后得到方程组为：
$$A^TAX = A^TB\tag{11}$$
解得
$$\hat{X} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$
这就是最优解，所以最优的那条直线为：
$$y = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}t\tag{12}$$